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本案例研基于Valuing Employee Stock Options: Under 2004 FAS 123R(見Wiley Finance，2004)。此處我們運(yùn)用了FASB軟件，這種軟件被用于在FAS 123R的A87部分中創(chuàng)建評(píng)估的示例。
行政概要
2004年12月，F(xiàn)ASB公布了最終校訂后的《國家財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則123》(FAS 123R,也被簡稱為FAS 123)，它針對(duì)基于股權(quán)的支付，修訂了1995年10月發(fā)布的FAS 123和95，這被華爾街認(rèn)為是財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)理事會(huì)(FASB)在其30年的歷史中做出的影響最為深遠(yuǎn)的行動(dòng)。該法案規(guī)定，從2005年6月15日起，所有新的和部分現(xiàn)存的員工股票期權(quán)將被以成本計(jì)入會(huì)計(jì)賬簿。正如此項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)所預(yù)期的那樣，許多公司(諸如GE和可口可樂)已經(jīng)自愿地在設(shè)置ESOs時(shí)，將其計(jì)入成本;而數(shù)以百計(jì)的其他公司卻仍然對(duì)它們的ESOs進(jìn)行估值。
本案例研究的目的是讓讀者更好地了解FAS 123選擇的方法(二叉樹模型)的估值運(yùn)用。我們將對(duì)該方法進(jìn)行系統(tǒng)化的、目標(biāo)化的評(píng)估，并且將其與Black-Scholes模型(BSM)的結(jié)果進(jìn)行比較。本案例研究表明，F(xiàn)AS 123可以進(jìn)行精確的估值。此處的分析運(yùn)用了傳統(tǒng)的二叉樹模型，并且考慮了現(xiàn)實(shí)條件下可能發(fā)生的情況(例如：保留退休金的權(quán)利、員工選擇次優(yōu)方案的行為、作廢的費(fèi)率、整個(gè)聲明過程中ESO的波動(dòng)性)。本案例引入了FAS 123的概念，并且給出了不同的ESO估值方法(閉合形式的BSM、二叉樹、Monte Carlo模擬)以及它們的影響。我們發(fā)現(xiàn)，通過使用滿足FAS 123要求的正確的方法，各公司可以消減每年數(shù)百萬美元的成本。因?yàn)檫@避免了不必要的對(duì)幼稚的BSM的估值，并且使用了經(jīng)過校正后的自定義的二叉樹模型(它考慮了會(huì)計(jì)次優(yōu)行為、作廢的費(fèi)率、保留退休金的權(quán)利、中斷的日期、隨著時(shí)間而改變的輸入值)。
介紹
在滿足FAS 123要求的條件下，被選為計(jì)算公平市場ESO估值的方法是二叉樹模型，但是批評(píng)家認(rèn)為各公司并不具有內(nèi)部資源和數(shù)據(jù)從而運(yùn)行復(fù)雜的估值(這種估值既要與新的要求相符合又要能夠通過審查)?；谧髡哂?003年提交給FASB董事會(huì)的研究報(bào)告，我們可以得出如下結(jié)論：BSM在理論上是正確的也是優(yōu)美的，但是當(dāng)把它運(yùn)用于對(duì)公平市場的ESOs估值進(jìn)行定量分析時(shí)，它就既不適用也不正確。這是因?yàn)锽SM只有在歐式期權(quán)沒有紅利時(shí)才適用(歐式期權(quán)的持有者只有在期權(quán)到期時(shí)才會(huì)執(zhí)行期權(quán)并且潛在的股票并不能支付任何紅利)。然而，事實(shí)上大多數(shù)ESO是帶有紅利的美式期權(quán)(期權(quán)持有者可以在包括到期日的任意時(shí)點(diǎn)執(zhí)行期權(quán)并且潛在的股票支付紅利)。此外，在現(xiàn)實(shí)的條件下，ESOs可以讓員工在執(zhí)行期權(quán)前擁有等待期權(quán)的權(quán)利，這在公司中隨時(shí)可能發(fā)生。這是因?yàn)閱T工可能提前離開公司或在達(dá)到既定周期前預(yù)先結(jié)束。此外，某些期權(quán)具有tranching或graduated scale，這樣使得股票期權(quán)中一定的百分比將每年都有可能被執(zhí)行。同樣地，一些員工會(huì)表現(xiàn)出不理性的行為，他們只在期權(quán)價(jià)值超出合約價(jià)格數(shù)倍時(shí)才執(zhí)行期權(quán)，即他們選擇的是次優(yōu)的行為。另一方面，期權(quán)價(jià)值可能會(huì)對(duì)期望的經(jīng)濟(jì)環(huán)境很敏感，由于利率具有期限結(jié)構(gòu)，無風(fēng)險(xiǎn)利率在期權(quán)的生命周期中可能發(fā)生變動(dòng)。最后，一些公司可能會(huì)經(jīng)歷重組(資產(chǎn)剝離、合并、收購都會(huì)影響標(biāo)的股票的波動(dòng)性)?？紤]到這些因素，當(dāng)把BSM運(yùn)用于公平市場時(shí)，它就顯得不適用也不恰當(dāng)了。總的來說，公司可以實(shí)施一系列行動(dòng)，從而影響期權(quán)的價(jià)值。閉合形式的模型(如BSM)或一般的Black-Scholes模型(GBM)(后者要求紅利收益)是不穩(wěn)定的，并且不能夠被修正以適應(yīng)于真實(shí)環(huán)境。因此，我們選擇二叉樹模型。
在某些特定條件下(沒有紅利的歐式期權(quán))，運(yùn)用二叉樹模型和Monte Carlo模擬得到的結(jié)果與運(yùn)用BSM所得到的結(jié)果相同，這表明前兩種方法是優(yōu)良的并且其極限是精確的。然而，當(dāng)具體條件發(fā)生改變時(shí)(作廢的概率、員工離職或中止工作時(shí)間的概率、選擇次優(yōu)行為)，只有二叉樹模型具有高度的穩(wěn)定性并且可以給出ESO的公平市場價(jià)值。BSM只考慮以下的輸入信息：股票價(jià)格、合約價(jià)格、到期日、無風(fēng)險(xiǎn)利率以及波動(dòng)性。GBM考慮了以上所有的輸入值以及紅利的分配率。因此，根據(jù)FAS 123的要求，BSM和GBM不適用于現(xiàn)實(shí)狀況。相比起來，二叉樹模型可以被改造，從而包括股票價(jià)格、合約價(jià)格、到期日、單一無風(fēng)險(xiǎn)利率(或隨時(shí)間而改變的多重?zé)o風(fēng)險(xiǎn)利率)、單一波動(dòng)性(或隨時(shí)間而改變的多重波動(dòng)性)、單一紅利分配率(或隨時(shí)間而改變的多重紅利分配率)、所有的現(xiàn)實(shí)因素(主要包括：轉(zhuǎn)換周期、提前執(zhí)行期權(quán)的次優(yōu)行為、中斷周期、作廢率、股票價(jià)格以及業(yè)績障礙、其他出現(xiàn)異常的可能性)。我們注意到，如果忽略這些現(xiàn)實(shí)條件，運(yùn)用二叉樹模型得到的結(jié)果與運(yùn)用GBM得到的結(jié)果相同。
對(duì)于二叉樹模型，最重要的也最具有說服力的論據(jù)如下：①FASB需要它并認(rèn)為二叉樹模型是進(jìn)行ESO估值的好方法。②二叉樹模型可以通過恰當(dāng)?shù)胤从超F(xiàn)實(shí)條件，從而大量減少ESO的成本。以下是FAS 123的例子，其旨在探討對(duì)二叉樹模型的運(yùn)用。
B64. 正如A10-A17中所討論的，閉合形式的模型是一種可以用于預(yù)測員工股票期權(quán)的公平市場價(jià)值的方法。然而，二(多)叉樹模型可以適應(yīng)于無風(fēng)險(xiǎn)利率的期限結(jié)構(gòu)、期望的波動(dòng)率、期權(quán)到期之前期望的紅利變動(dòng)。二(多)叉樹模型同樣可以適應(yīng)于估計(jì)員工的執(zhí)行期權(quán)的模式、到期日之內(nèi)的期權(quán)等，因而也就可以更好地反映這些因素。
A15. Black-Scholes-Merton公式假設(shè)只能在期權(quán)到期日?qǐng)?zhí)行期權(quán)，期望的波動(dòng)性、期望的紅利、無風(fēng)險(xiǎn)利率在整個(gè)期權(quán)的生命周期中保持恒定。如果將其運(yùn)用于估計(jì)公允價(jià)值，那么需要對(duì)Black-Scholes-Merton公式進(jìn)行修改，使其考慮到現(xiàn)實(shí)中的員工股票期權(quán)與模型的假設(shè)相矛盾之處(例如：在到期日之前執(zhí)行期權(quán)的能力)。由于這個(gè)公式的性質(zhì)，那些調(diào)整采取對(duì)不同假設(shè)進(jìn)行加權(quán)平均的形式。相比起來，二(多)叉樹模型可以對(duì)期權(quán)有效期內(nèi)的紅利、期權(quán)執(zhí)行模式的預(yù)測、中斷周期的影響進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。因此，對(duì)二(多)叉樹模型可以有效模擬各種員工股票期權(quán)的不同特征。然而，二(多)叉樹模型、Black-Scholes-Merton公式以及其他滿足A8段的估值技術(shù)可以給出對(duì)公允價(jià)值的估計(jì)。不過，如果一個(gè)實(shí)體使用了經(jīng)過校正后的模型(將以下因素納入考慮：期權(quán)的合同期限、員工期望的執(zhí)行方式、等待后的雇用中止行為)，則對(duì)期望期限的估計(jì)是基于二(多)叉樹模型的輸出結(jié)果。例如：一個(gè)實(shí)體的經(jīng)歷可能表明期權(quán)的持有者傾向于在股票價(jià)格翻了一倍后執(zhí)行期權(quán)。如果是這樣，該實(shí)體可能使用二(多)叉樹模型，這個(gè)模型假設(shè)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)的期望條件得到滿足時(shí)，在股票價(jià)格路徑的每個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行期權(quán)(如果在該節(jié)點(diǎn)期權(quán)可以等待并且可以被執(zhí)行)。此外，當(dāng)執(zhí)行期權(quán)的期望條件沒有得到滿足并且期權(quán)在合約期滿后仍處于實(shí)值狀態(tài)時(shí)，該模型也假設(shè)在期滿后執(zhí)行期權(quán)。這種方法認(rèn)為，員工的執(zhí)行行為與潛在價(jià)格相關(guān)。此模型同樣也考慮了期權(quán)等待后的雇用中止行為?；谧鳛榻Y(jié)果的二(多)叉樹模型(見A240段)，我們可以對(duì)期望的期限做出估計(jì)。
事實(shí)上，F(xiàn)AS 123的一些部分是不能夠被考慮在傳統(tǒng)的Black-Scholes模型中的。二(多)叉樹模型需要對(duì)如下因素進(jìn)行建模：次優(yōu)執(zhí)行行為、作廢率、期權(quán)等待、中斷周期等。此案例研究和軟件計(jì)算的結(jié)果使用了二(三)叉樹模型、閉合形式的Black-Scholes模型從而比較結(jié)果。描述二(多)叉樹模型的使用方法的FAS 123段落包括如下條目：
A27. 然而，如果一個(gè)實(shí)體使用了經(jīng)過校正后的模型(將以下因素納入考慮：期權(quán)的合同期限、員工期望的執(zhí)行方式、等待后的雇用中止行為)，則對(duì)期望期限的估計(jì)是基于二(多)叉樹模型的輸出結(jié)果。例如：一個(gè)實(shí)體的經(jīng)歷可能表明期權(quán)的持有者傾向于在股票價(jià)格翻了一倍后執(zhí)行期權(quán)。如果是這樣，該實(shí)體可能使用二(多)叉樹模型，這個(gè)模型假設(shè)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)的期望條件得到滿足時(shí)，在股票價(jià)格路徑的每個(gè)節(jié)點(diǎn)執(zhí)行期權(quán)(如果在該節(jié)點(diǎn)期權(quán)可以等待并且可以被執(zhí)行)。
A28. 其他的影響員工執(zhí)行期權(quán)的行為以及等待后雇用中止行為的因素包括：
對(duì)等待期的獎(jiǎng)勵(lì)。期權(quán)的期望期限至少應(yīng)該包括等待期。
員工的歷史執(zhí)行情況以及等待后雇用中止行為。
標(biāo)的股票價(jià)格的期望波動(dòng)性。
中斷期限以及其他的安排(例如：當(dāng)滿足某種條件時(shí)，期權(quán)自動(dòng)執(zhí)行)。
員工的年齡、任職期限長度、國內(nèi)司法狀況。
因此，基于前述的司法體系以及針對(duì)校訂后FAS 123的要求和推薦條件(其選擇二叉樹模型)，我們可以認(rèn)為在計(jì)算ESOs的公允價(jià)值時(shí)，二叉樹模型是最好的也是最值得推薦的方法。
首選方法的運(yùn)用
在運(yùn)用經(jīng)過修改后的二叉樹模型時(shí)，需要對(duì)以下的輸入值進(jìn)行判斷：
批準(zhǔn)日的股票價(jià)格。
批準(zhǔn)期權(quán)的合約價(jià)格。
期權(quán)的到期時(shí)間。
期權(quán)生命周期的無風(fēng)險(xiǎn)利率。
期權(quán)生命周期中標(biāo)的股票的紅利收益。
期權(quán)生命周期中的波動(dòng)性。
期權(quán)的等待期。
期權(quán)生命周期中的次優(yōu)執(zhí)行行為。
作廢率以及期權(quán)生命周期中的員工遷移率。
當(dāng)期權(quán)不能被執(zhí)行時(shí)的等待后的中斷日期。
這種分析假設(shè)員工在期權(quán)等待的期限中不能執(zhí)行期權(quán)。更進(jìn)一步，如果員工工作年限被終結(jié)，并且決定等待期中自愿離開，則期權(quán)的批準(zhǔn)將失效并且被認(rèn)為是無價(jià)值的。相比起來，在期權(quán)等待期后，員工往往會(huì)在執(zhí)行期權(quán)方面表現(xiàn)出不理性的行為，即一種次優(yōu)的行為。然而，如果員工自愿離開或中止被雇用，則等待后的期權(quán)必須在一段短暫的時(shí)間之內(nèi)執(zhí)行(不論次優(yōu)的行為如何，即期權(quán)失效的發(fā)生，這是由期權(quán)的失效率以及員工的遷移率來測度)。最后，當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，如果期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，則將會(huì)被執(zhí)行;如果處于虛值或兩平狀態(tài)，則期權(quán)會(huì)過期。下一個(gè)部分將具體闡述本案例分析的結(jié)果。
ESO估值軟件包
從理論上講，如果不借助于軟件，我們也可以對(duì)大規(guī)模的二叉樹模型ESO進(jìn)行估值。本分析運(yùn)用的軟件是本書作者編寫的員工股票期權(quán)估值工具包1.1(見圖1.1)，F(xiàn)ASB也是用這款軟件證明ESO估值是有效的也是具有可操作性的。事實(shí)上，F(xiàn)ASB運(yùn)用這款軟件計(jì)算了最終的FAS 123的A87-A88段的示例，并進(jìn)行了估值。圖1.2自定義的美式期權(quán)的示例模塊，它運(yùn)用了帶有等待的二叉樹模型、失效率、次優(yōu)執(zhí)行行為、隨著時(shí)間變化的無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)性。Real Options Super Lattice軟件也可以運(yùn)用二叉樹模型、FASB偏好的方法用來創(chuàng)造任意自定義的ESO模型。
圖1.1 ESO Valuation Toolkit 1.1軟件
這款軟件顯示了如何運(yùn)用閉合形式的模型(例如BSM/GBM)以及二叉樹模型。運(yùn)用二叉樹模型，我們可以解決更為復(fù)雜的ESO問題。例如：自定義的高級(jí)期權(quán)(見圖1.2)顯示的是多個(gè)變量(無風(fēng)險(xiǎn)利率、紅利、波動(dòng)性、失效率、次優(yōu)執(zhí)行行為等)隨著時(shí)間的變化。此外，對(duì)于增加的不穩(wěn)定性，Super Lattice Solver模塊可以使我們解決自定義的ESO問題。這種特征使得管理層可以用不同風(fēng)格的ESO進(jìn)行試驗(yàn)，從而找出其需要的那種，使股權(quán)持有者的成本最小化。
圖1.2 定制高級(jí)期權(quán)模型
圖1.2顯示的是2004年的最終的FAS 123準(zhǔn)則的A87段的示例的解決方案。具體而言，A87-A88如下：
A87. 下表顯示的是關(guān)于2005年1月1日批準(zhǔn)的股票期權(quán)的一些假設(shè)和相關(guān)信息。
股票期權(quán)共900000。
員工的期權(quán)共3000。
批準(zhǔn)日的股票價(jià)格為$30。
執(zhí)行價(jià)格為$30。
合約期限(CT)為10年。
合約期內(nèi)的無風(fēng)險(xiǎn)利率是1.5%~4.3%。
合約期內(nèi)期望的波動(dòng)性為40%~60%。
合約期內(nèi)期望的紅利收益為1.0%。
次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為2。
A88. 本例假設(shè)每個(gè)員工都被批準(zhǔn)擁有300份期權(quán)。從以上列表中選出7項(xiàng)作為輸出值，我們可以得出每份期權(quán)的公允價(jià)值為$14.69。此模型運(yùn)用次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)來計(jì)算期望的項(xiàng)目(即期望的項(xiàng)目作為輸出值)，而不是把期望的項(xiàng)目作為孤立的輸入值。如果運(yùn)用Black- Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)公式，則期望的項(xiàng)目應(yīng)該被用作輸入值而不是次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)。
圖1.2顯示的結(jié)果為$14.69，F(xiàn)ASB在其示例中用到了這個(gè)結(jié)果。FASB的示例中，3%的失效率被運(yùn)用于模型之外，從而對(duì)隨著時(shí)間而消減的數(shù)量進(jìn)行貼現(xiàn)。這個(gè)軟件允許我們在模型內(nèi)部或外部輸入失效率(等待之前或等待之后)。在這個(gè)例子中，我們將失效率設(shè)為0(圖1.2)并且將數(shù)量排除在外，這正如FASB在A91中所做的那樣：期望被等待的股票的數(shù)量在批準(zhǔn)日被估計(jì)為821406(900000×0.973)。
事實(shí)上，運(yùn)用ESO的估值軟件包和Excel的目標(biāo)探索函數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)期權(quán)的期望生命周期為6.99年。如果將6.99輸入校正后的GBM，那么我們可以得到同樣的結(jié)果$14.69(如果不運(yùn)用二叉樹模型，這是無法完成的)。
所運(yùn)用的方法的技術(shù)性證明
本部分闡述了導(dǎo)致GBM與自定義的二叉樹模型價(jià)格差別的技術(shù)性證明。圖1.3顯示了在自定義的二叉樹模型中如何得出每個(gè)輸入變量?；谶@個(gè)圖，顯然波動(dòng)性并非期權(quán)價(jià)值的關(guān)鍵變量。事實(shí)上，等待、失效、次優(yōu)行為等元素考慮進(jìn)模型時(shí)，它們的效果控制了波動(dòng)性。此圖顯示的是典型的案例，并不能作為一般化的案例。
相比起來，在簡單的BSM中，波動(dòng)性是顯著的變量(如圖1.4所示)。這是因?yàn)橛捎谳斎氲淖兞枯^少，造成輸入的變量的相互影響較少。對(duì)于許多處于兩平狀態(tài)的ESOs，當(dāng)沒有其他的主導(dǎo)輸入變量時(shí)，波動(dòng)性起了非常重要的作用。
另外，這些新輸入變量的相互影響是非線性的。由圖1.5可知，等待、失效率、次優(yōu)行為在期權(quán)價(jià)值中是非線性的。即圖中的線條不是直的而是在某些部位表現(xiàn)為彎曲的，這表明模型中有非線性的影響。這表明在期權(quán)價(jià)值中，我們不可以對(duì)這三個(gè)變量進(jìn)行一般性的總結(jié)(例如，我們不能總結(jié)如下：失效率每增加1%，期權(quán)的價(jià)值會(huì)降低2.35%;這意味著失效率每增加2%，期權(quán)的價(jià)值將下降4.7%)。這是因?yàn)樵诓煌膶哟?，變量的相互影響不同。我們可以總結(jié)如下：不可以對(duì)某個(gè)變量的變化所帶來的影響得到一般性的結(jié)論。對(duì)于每個(gè)案例，都要對(duì)更多的細(xì)節(jié)進(jìn)行分析。
圖1.3 颶風(fēng)圖列示了定制二叉樹模型中關(guān)鍵的輸入因素
圖1.4 颶風(fēng)圖列示了BSM模型中關(guān)鍵的輸入因素、
圖1.5 蛛網(wǎng)圖顯示了二叉樹模型中輸入變量的非線性效果
盡管每個(gè)圖都顯示了變量的輸入值變化對(duì)期權(quán)價(jià)值帶來的影響，即這些影響是靜態(tài)的。然而，如圖1.5所示，這些效果常常是非線性的，這意味著我們需要同時(shí)改變變量的值，從而找出它們的相互影響。圖1.6顯示的是Monte Carlo模擬的動(dòng)態(tài)敏感性，其中失效率、等待、次優(yōu)行為都被視作重要變量，而波動(dòng)性再一次被視作次要的變量。動(dòng)態(tài)敏感性的圖是在經(jīng)過數(shù)千次改變輸入變量的值后得到的，它可以捕捉到期權(quán)價(jià)值變化的效果。這種方法在捕捉不同變量輸入值的凈相互影響方面，是非常有價(jià)值的。
圖1.6 輸入變量同時(shí)變動(dòng)的動(dòng)態(tài)敏感性分析
從這些對(duì)敏感性的分析來看，我們可以總結(jié)得出：把失效率、等待、次優(yōu)行為綜合起來對(duì)于獲取ESOs的公允價(jià)值是非常重要的，因?yàn)樗鼈儗?duì)期權(quán)價(jià)值會(huì)造成重大的影響。此外，我們不能把對(duì)期權(quán)價(jià)值有影響的輸入變量進(jìn)行一般化的總結(jié)。為了獲取期權(quán)的價(jià)值，我們每次都要進(jìn)行具體的分析。
帶待權(quán)期和次優(yōu)執(zhí)行行為的期權(quán)
通過進(jìn)一步研究次優(yōu)行為和等待，我們得到了圖1.7所示的結(jié)果。此處我們發(fā)現(xiàn)在較低的次優(yōu)行為發(fā)生率下，股票期權(quán)價(jià)值顯著低于由BSM預(yù)測的值。對(duì)于10年的等待股票期權(quán)，兩個(gè)結(jié)果是相同的。這是因?yàn)閷?duì)于10年等待并且10年到期的期權(quán)，它將轉(zhuǎn)變?yōu)闅W式期權(quán)，只能在到期日?qǐng)?zhí)行。在本例中，BSM給出了正確的結(jié)果。
圖1.7 次優(yōu)執(zhí)行行為和待權(quán)期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為25美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為50%，紅利率為0%，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1~20，待權(quán)期為1~10年，進(jìn)行100~5000步的二叉網(wǎng)格嘗試)
然而，當(dāng)次優(yōu)行為發(fā)生率降低時(shí)，期權(quán)的價(jià)值將會(huì)降低。這是因?yàn)槌钟衅跈?quán)的員工傾向于以次優(yōu)的方式執(zhí)行期權(quán)，即他們會(huì)在股票價(jià)格達(dá)到最優(yōu)之前執(zhí)行期權(quán)。因此，期權(quán)的價(jià)值沒有被最大化。例如：假設(shè)期權(quán)的合約價(jià)格為$10，標(biāo)的股票具有高波動(dòng)性。如果一個(gè)員工以$11執(zhí)行了期權(quán)(次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為1.1)，他就沒能夠有效把握住標(biāo)的股票的高波動(dòng)性帶來的價(jià)格上漲空間。假設(shè)另一個(gè)員工在股票價(jià)格為$20時(shí)執(zhí)行了期權(quán)(次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為2.0)。因此，較低的次優(yōu)執(zhí)行行為意味著股票期權(quán)的較低公允價(jià)值。當(dāng)預(yù)測的批準(zhǔn)日的股票價(jià)格較高時(shí)，次優(yōu)執(zhí)行行為對(duì)股票具有較高的影響。圖1.8顯示，越接近批準(zhǔn)日，曲線的斜率越高。
圖1.8 次優(yōu)執(zhí)行行為和股票價(jià)格對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格范圍為5~100美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，紅利率為0%，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1~20，待權(quán)期為4年，進(jìn)行100~5000步的二叉網(wǎng)格測試)
圖1.9顯示，股票波動(dòng)性越高，則次優(yōu)區(qū)域越大且對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響越大，但是這種影響是漸近的。例如：對(duì)于具有100%波動(dòng)性的股票，次優(yōu)區(qū)域從次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為1.0的部分一直擴(kuò)展到次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為9.0的部分(而對(duì)于波動(dòng)性為10%的股票，次優(yōu)區(qū)域從次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為1.0的部分?jǐn)U展到次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)為2.0的部分)。此外，100%波動(dòng)性股票的價(jià)格波動(dòng)從$12~$22，波幅為$10(而8%波動(dòng)性的股票價(jià)格波動(dòng)從$2~$10，波幅為$8)。因此，批準(zhǔn)日的股票價(jià)格越高，則波動(dòng)性越高，從而次優(yōu)行為對(duì)期權(quán)價(jià)值具有更高的影響。在各種情況中，BSM的結(jié)果在圖中表現(xiàn)為水平線(圖1.8、圖1.9)。即BSM假設(shè)所有行為都是最優(yōu)的，因此它總是最大化期權(quán)價(jià)值，這會(huì)顯著高估期權(quán)的價(jià)值。GBM和BSM都不能考慮到次優(yōu)執(zhí)行行為，只有二叉樹模型可以做到這點(diǎn)。
帶有失效率的期權(quán)
圖1.10顯示的是，隨著失效率的增加，期權(quán)價(jià)值減小。減小的比率取決于待權(quán)期。待權(quán)期越長，失效率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響越大，這表明在等待與失效之間存在非線性的交互影響關(guān)系(圖1.10中的線條是彎曲的并且是非線性的)。從直覺上我們可以感知到這一點(diǎn)，待權(quán)期越長，則雇員繼續(xù)接受雇用的可能性越高，失效的可能性越高。這會(huì)減少期權(quán)的期望價(jià)值。
圖1.9 次優(yōu)執(zhí)行行為和波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為25美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為10%-100%，紅利率為0%，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1~20，待權(quán)期為1~10年，進(jìn)行100~5000步的二叉網(wǎng)格測試)
圖1.10 罰沒率和待權(quán)期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為25美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為50%，紅利率為0%，次優(yōu)執(zhí)行行為為1.01，待權(quán)期為1~10年，罰沒率為0~50%，進(jìn)行100~5000步的二叉網(wǎng)格測試)
再一次，我們可以注意到，對(duì)于具有10年待權(quán)期、10年有效期、0失效率的期權(quán)，BSM總是會(huì)高估價(jià)值(圖1.10)。此外，如果公司運(yùn)作正常、股票價(jià)格往往會(huì)升高、這會(huì)使得期權(quán)更具有價(jià)值并且使員工不太可能離開公司、且公司也不太可能解雇員工——這樣的話，股票價(jià)格與失效率就具有負(fù)相關(guān)的特征。由于失效率具有不確定性(在過去，失效率通常會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化而波動(dòng)，并且它在未來也會(huì)波動(dòng))且與股票價(jià)格具有負(fù)相關(guān)性，故我們可以將具有相關(guān)性的Monte Carlo模擬運(yùn)用于失效率，并可將其與二叉樹模型聯(lián)合使用(在本案例研究的后面部分將得到闡述)。BSM總是最大化期權(quán)價(jià)值。ESO估值軟件可以考慮到失效率，Super Lattice Solver可以考慮到在二(多)叉樹模型中不同的等待前與等待后的失效率。
無風(fēng)險(xiǎn)利率隨時(shí)間而改變的期權(quán)
輸入值的另一個(gè)假設(shè)是無風(fēng)險(xiǎn)利率。圖1.11顯示的是隨時(shí)間而改變的無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響。當(dāng)增加了其他的輸入值后，無風(fēng)險(xiǎn)利率不恒定的二(多)叉樹模型會(huì)在整體上低估期權(quán)價(jià)值。此外，考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值，對(duì)未來現(xiàn)金流進(jìn)行更高的貼現(xiàn)將會(huì)降低期權(quán)的價(jià)值。圖1.11比較了斜率增長的收益率曲線和斜率下降的收益率曲線，它們在圖像上分別表現(xiàn)為開口朝上的月牙和開口朝下的月牙。當(dāng)利率的期限結(jié)構(gòu)隨時(shí)間而增加時(shí)，運(yùn)用非恒定的無風(fēng)險(xiǎn)利率二叉樹模型計(jì)算出的期權(quán)價(jià)值($24.31)低于運(yùn)用無風(fēng)險(xiǎn)利率的平均值計(jì)算出的結(jié)果($25.92)。對(duì)于下降的期限結(jié)構(gòu)，情況正好相反。此外，圖1.11顯示了開口朝下的無風(fēng)險(xiǎn)利率曲線(利率先低后高再低)和開口朝上的無風(fēng)險(xiǎn)利率曲線(利率先高后低再高)。這個(gè)結(jié)果表明，運(yùn)用簡單平均的方法，將會(huì)高估斜率增加的收益曲線，低估斜率減少的收益曲線。因此，我們應(yīng)該隨著時(shí)間的變化，從而對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率做出修正。
圖1.11 變化的無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
這些結(jié)果只可以用于說明一個(gè)典型的情況而不能作為一般化的例子在所有情況下進(jìn)行使用。
波動(dòng)性隨時(shí)間變化的期權(quán)
圖1.12顯示的是ESO中波動(dòng)性隨時(shí)間而改變的效果。如果波動(dòng)性隨時(shí)間而改變，則當(dāng)存在其他的輸入變量時(shí)，運(yùn)用平均波動(dòng)性的BSM($71.48)將總是會(huì)高估期權(quán)的價(jià)值。此外，把它與基礎(chǔ)狀況中的$38.39相比，隨時(shí)間而緩慢地從較低水平增加的波動(dòng)性將會(huì)導(dǎo)致較低的期權(quán)價(jià)值，而當(dāng)波動(dòng)性從較高的水平降低時(shí)(以及當(dāng)波動(dòng)性表現(xiàn)為開口朝上或朝下的月牙時(shí))，計(jì)算出的結(jié)果高于用平均波動(dòng)性計(jì)算出的結(jié)果。
紅利收益隨時(shí)間而改變的期權(quán)
紅利收益是一種較為簡單的輸入數(shù)據(jù)，我們可以從公司的紅利分配政策或歷史數(shù)據(jù)中獲得。我們計(jì)算紅利收益時(shí)，是把在一年中的紅利加總起來，從而計(jì)算出總的紅利與股票價(jià)格的比值。通常紅利收益都介于0%~7%。事實(shí)上，在美國大約有45%的上市公司支付紅利。在支付紅利的公司之中，有85%的紅利收益低于7%，95%的紅利收益低于10%。紅利收益是一個(gè)非常有趣的變量，它與其他的輸入變量具有較小的相關(guān)性。它對(duì)期權(quán)價(jià)值具有接近線性的效果，而其他的輸入變量卻不具有這樣的效果。例如：圖1.13顯示的是對(duì)同樣的期權(quán)的不同到期日的效果。到期期限越長，則期權(quán)價(jià)值越高、但期權(quán)價(jià)值增長率在減小。
圖1.12 變化的波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
圖1.13 成熟期的非線性影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為100美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為75%，定制網(wǎng)格步數(shù)為1000步，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1.8，待權(quán)期為1年，罰沒率為10%)
相比起來，圖1.14顯示的是，即使當(dāng)其他的輸入變量發(fā)生改變，紅利的效果仍然接近線性。不論變量發(fā)生什么變化，紅利對(duì)期權(quán)的影響都接近線性。圖1.14顯示的是許多具有特殊紅利率的期權(quán)，圖1.15顯示的是單一期權(quán)的紅利隨時(shí)間而改變的效果。圖1.14中的結(jié)果是對(duì)具有不同紅利率的不同期權(quán)進(jìn)行比較而得出的，圖1.15中的結(jié)果是對(duì)紅利率隨時(shí)間而改變的單一期權(quán)的效果進(jìn)行比較而得出的。
圖1.14 紅利率的近線性影響
圖1.15 變化的紅利率的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為100美元，成熟期為5年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為75%，定制網(wǎng)格步數(shù)為1000步，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1.8，待權(quán)期為1年)
顯然，如果期權(quán)的紅利不斷改變，則它對(duì)這個(gè)期權(quán)來說是具有價(jià)值的。因此，如果公司的股票支付紅利，則我們的分析中應(yīng)該考慮紅利率改變的可能性。
帶有中斷期限的期權(quán)
另外一個(gè)比較有意思的就是中斷期限，在中斷期限中ESOs不能夠被執(zhí)行。這個(gè)期限通常是公布收入(通常是季度財(cái)務(wù)報(bào)告)前幾周，也可能是后幾周。此外，只有負(fù)有受托人責(zé)任的高級(jí)經(jīng)理才具有這樣的中斷期權(quán)，因此這部分期權(quán)與整個(gè)公司的相比只占很小的一部分。圖1.16顯示的是具有不同的中斷期的典型的ESO的計(jì)算結(jié)果。有些期權(quán)在一個(gè)月中只有幾天的中斷期時(shí)，這與普通的帶有中斷期的期權(quán)有所不同，也與那些沒有中斷期的期權(quán)不同。事實(shí)上，如果次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)較小(本例中假設(shè)這個(gè)值為1.8)，策略的中斷期限會(huì)防止期權(quán)持有者以次優(yōu)的行為執(zhí)行期權(quán)并且期權(quán)的價(jià)值也會(huì)略微地增加。
圖1.16 禁止期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為100美元，成熟期為10年，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，波動(dòng)率為75%，定制網(wǎng)格步數(shù)為1000步，次優(yōu)執(zhí)行行為乘數(shù)為1.8，沒有紅利率，待權(quán)期為1年，罰沒率為10%)
圖1.16所示的分析假設(shè)一年中的中斷期限只占很小的百分比(即一年中只有幾天不能執(zhí)行ESO)。對(duì)于這些公司的股票期權(quán)，中斷期限可以被忽略。然而，對(duì)于生物科技公司、高科技公司等，中斷期限扮演了非常重要角色。例如：在生物科技公司，每個(gè)季度的中斷期限可能有4~6周，這個(gè)期限將跨越公布季度公報(bào)的時(shí)間。此外，在新產(chǎn)品投產(chǎn)前也可能設(shè)置中斷期限。因此，每年的中斷期限可能占期權(quán)生命周期的35%~36%。在這種情況下，中斷期限會(huì)顯著影響期權(quán)的價(jià)值。例如：圖1.17顯示的是具有中斷期限以及不具有中斷期限的自定義二叉樹模型的差別。在引入中斷期限后，ESO的值被消減了10%~35%(具體數(shù)值取決于失效率的波動(dòng)性)。正如所期望的那樣，減少的數(shù)值是非線性的，因?yàn)橹袛嗥谙薜男Ч麜?huì)隨著分析中其他不同的輸入變量的變化而變化。
圖1.18顯示的是不同等待期、不同的紅利收益下的中斷期限的效果，而圖1.19顯示的是在不同的紅利收益和次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)下的結(jié)果。顯然，我們只有在具體分析之后，才能準(zhǔn)確預(yù)測影響，這種影響一般是10%~20%。中斷期限只能運(yùn)用二叉樹模型建模而不能用BSM/GBM。
圖1.17 禁止期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響(不同的罰沒率和波動(dòng)率)
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為30~100美元，波動(dòng)率為45%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，成熟期為10年，紅利率為0%~10%，待權(quán)期為1~4年，罰沒率為5%~14%，次優(yōu)執(zhí)行行為參數(shù)為1.8~3.0，網(wǎng)格步數(shù)為1000步)
圖1.18 關(guān)鍵禁止期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響(不同的紅利率和封鎖期)
圖1.19 關(guān)鍵禁止期對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響(不同的紅利率和執(zhí)行行為)
不流通問題
2004年的FAS 123沒有明確地討論不流通性，即ESO既不能直接被過戶給其他人也不能自由地在市場中進(jìn)行交易。在這種情況下，基于可靠的財(cái)務(wù)和經(jīng)濟(jì)理論，我們可以把不可流通條件下的貼現(xiàn)近似用于ESO。然而，這并不是一項(xiàng)輕松的任務(wù)。
一種對(duì)貼現(xiàn)簡單的和直接的應(yīng)用不應(yīng)該是用任意選擇的百分比乘以二叉樹模型計(jì)算出的結(jié)果。我們可以運(yùn)用看跌期權(quán)進(jìn)行更嚴(yán)格的分析。一份看漲期權(quán)是一種合約權(quán)利，而不是一種義務(wù)，它使得期權(quán)持有者可以在指定的時(shí)間之內(nèi)能夠以合約價(jià)格購買標(biāo)的股票;而看跌期權(quán)也是一種合約權(quán)利，而非義務(wù)，它使得期權(quán)的持有者能夠在指定的時(shí)間內(nèi)以合約價(jià)格出售股票。因此，如果ESO的持有者不能銷售或等待期權(quán)，那么持有它就相當(dāng)于放棄了銷售期權(quán)的權(quán)利(也即員工已經(jīng)背書或?qū)境鍪哿丝吹跈?quán))。
然而，在分析中碰到這種貼現(xiàn)特征時(shí)，我們要格外小心。在計(jì)算看漲期權(quán)時(shí)輸入自定義二叉樹模型的輸入值也同樣應(yīng)該輸入看跌期權(quán)。即看跌期權(quán)也必須具有相同的風(fēng)險(xiǎn)(波動(dòng)性會(huì)隨著時(shí)間而改變)、經(jīng)濟(jì)環(huán)境(無風(fēng)險(xiǎn)利率的期限結(jié)構(gòu)會(huì)隨著時(shí)間而改變)、合約的義務(wù)(等待、到期日、合約價(jià)格、中斷期限)、投資者的不理智(次優(yōu)執(zhí)行行為)、公司的業(yè)績(批準(zhǔn)日的股票價(jià)格)等。
盡管FAS 123沒有明確地討論不可流通性，出于完整性的考慮，我們在此對(duì)價(jià)值進(jìn)行分析。只有每個(gè)公司的管理層才能決定是否應(yīng)該運(yùn)用貼現(xiàn)。圖1.20顯示的是運(yùn)用自定義二叉樹模型對(duì)ESO進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果。圖1.21顯示的是非流通性的分析結(jié)果，這是將相同的輸入值(等待、中斷、失效、次優(yōu)行為等)輸入自定義二叉樹模型而計(jì)算出的結(jié)果。貼現(xiàn)率的范圍是22%~53%。這些貼現(xiàn)率看上去有些大，但它們其實(shí)是符合市場預(yù)期的。由于FASB沒有明確地批準(zhǔn)這些貼現(xiàn)率，所以作者建議在決定ESO的公允市場價(jià)值時(shí)要謹(jǐn)慎。
圖1.20 定制二叉網(wǎng)格模型估值結(jié)果
(使用假設(shè)：股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格為100美元，成熟期為10年，待權(quán)期為1年，波動(dòng)率為35%，紅利率為0%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，次優(yōu)執(zhí)行行為參數(shù)為1.2~3.0，罰沒率為0%~40%，定制網(wǎng)格步數(shù)為1000步)
圖1.21 不可銷售和不可轉(zhuǎn)換貼現(xiàn)率
壽命分析(生存分析)
正如前面所講到的那樣，2004年最終的FAS 123的A15和B64不允許使用帶有單一期望生命周期的BSM。這意味著我們不能把期望的生命周期輸入到BSM中，從而獲得類似自定義的二叉樹模型計(jì)算的結(jié)果。我們只能另尋它法。即運(yùn)用等待要求、次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)、失效率、員工更替率以及其他標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的輸入值，通過自定義二叉樹模型計(jì)算出估值結(jié)果。這種結(jié)果與校正后的BSM具有可比性，并且期望的生命周期可以作為輸入值。通過將BSM的結(jié)果設(shè)置為與自定義的二叉樹模型相等，Excel的目標(biāo)搜索函數(shù)可以被用來獲取期權(quán)的期望的生命周期的輸入值。期望的生命周期的輸出結(jié)果可以與歷史數(shù)據(jù)相比較，從而作為另一類輸出結(jié)果，即期望的生命周期是否在歷史數(shù)據(jù)的范圍之內(nèi)。由于測度期權(quán)的期望的生命周期是非常困難的也是不準(zhǔn)確的，故而這種方法是正確的。
如圖1.22所示，通過將BSM的結(jié)果與自定義二叉樹模型的結(jié)果設(shè)置為相等，我們可以對(duì)ESO Valuation Toolkit軟件運(yùn)行Excel的目標(biāo)搜索函數(shù)，從而BSM模型輸入期望的生命周期。
圖1.22 使用二叉樹結(jié)果來確定期權(quán)預(yù)期生命周期
圖1.23顯示的是另一個(gè)例子，在此處期望的生命周期可以被輸入，但失效率并不為0。在這種情況下，需要對(duì)BSM的結(jié)果進(jìn)行修正。例如：自定義二叉樹模型的結(jié)果為$5.41(失效率為15%)。這意味著，如果運(yùn)用修正的期望生命周期的方法，結(jié)果應(yīng)該為BSM×(1-15%)=$5.41。期望的生命周期是2.22年，產(chǎn)生的BSM值是$6.36($5.41/85%=$6.36，$6.36×(1-15%)=$5.4)。
稀釋
在大多數(shù)情況下，稀釋的影響可以忽略不計(jì)，因?yàn)榕鷾?zhǔn)的ESO只占公司的期權(quán)總量的很小一部分。在財(cái)務(wù)投資理論中，市場早已預(yù)期到了ESOs的執(zhí)行，并且股票價(jià)格也已經(jīng)反映了它的影響。一旦新期權(quán)的批準(zhǔn)被公布，股票價(jià)格會(huì)迅速對(duì)這條消息進(jìn)行充分的調(diào)整，這時(shí)已經(jīng)考慮到了稀釋發(fā)生的可能性。這意味著只要是在公布之后進(jìn)行估值，那么稀釋的影響將不復(fù)存在。2004年的FAS 123沒有給出清楚的指導(dǎo)。由于FASB幾乎沒有對(duì)稀釋給出指導(dǎo)(A39)、考慮了稀釋時(shí)預(yù)測股票價(jià)格是非常困難的、稀釋的影響是非常微小的(其只占股票總量中的很小比例)，故而稀釋的影響可以被忽略不計(jì)。
圖1.23 零罰沒率的情況下使用二叉樹結(jié)果來確定預(yù)期生命周期
將蒙特卡羅模擬運(yùn)用于統(tǒng)計(jì)置信度和精度控制
下一步，蒙特卡羅模擬可以被運(yùn)用于獲取股票期權(quán)公允價(jià)值的估計(jì)范圍。即如果股票期權(quán)的輸入值是不確定的并且是隨機(jī)的，那么就可以對(duì)其運(yùn)用蒙特卡羅模擬。我們可以將分布假設(shè)運(yùn)用于這些變量，并且用BSM、GBM得到的期權(quán)價(jià)值的結(jié)果、對(duì)路徑的模擬、二叉樹模型可以被選作預(yù)測單元格。
模擬的結(jié)果在本質(zhì)上是股票期權(quán)價(jià)值的分布。我們必須注意，此處的模擬僅僅是用來區(qū)別不同的輸入值，從而獲取輸出結(jié)果的范圍，而不是為了計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。然而，模擬既可以被用來模擬輸入值從而獲取期權(quán)結(jié)果的范圍，也可以通過獨(dú)立路徑模擬解決期權(quán)的模型問題。例如：模擬的輸入值是那些具有高度不確定性并且在未來會(huì)發(fā)生改變的值(如批準(zhǔn)日的股票價(jià)格、波動(dòng)性、失效率、次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)等)。顯然，客觀的變量如無風(fēng)險(xiǎn)利率(美國會(huì)公布期限從1個(gè)月到20年的國債的收益率)、紅利收益(這取決于公司的戰(zhàn)略)、等待期、合約價(jià)格、中斷期限(這取決于期權(quán)合約中的規(guī)定)等是不應(yīng)該被模擬的。此外，模擬的輸入假設(shè)有可能是相關(guān)的。例如：失效率與股票價(jià)格呈負(fù)相關(guān)——如果公司運(yùn)作得不錯(cuò)，則股票價(jià)格會(huì)提高，這使得期權(quán)更有價(jià)值，這樣就會(huì)使員工不傾向于離開公司且公司也不傾向于解雇員工。最后，輸出值的預(yù)測是期權(quán)估值的結(jié)果。事實(shí)上，F(xiàn)AS 123(B64、B65以及腳注48、52、74、97)允許并推薦蒙特卡羅模擬。
圖1.24是對(duì)所有變量運(yùn)用自定義二叉樹模型(基于單點(diǎn)輸入值)計(jì)算出的結(jié)果。模型采用了外來輸入值(如：待權(quán)期、失效率、次優(yōu)執(zhí)行乘數(shù)、中斷期限)，并且隨著時(shí)間而改變輸入值(紅利、無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)性)。期權(quán)價(jià)值的結(jié)果是$31.42。這個(gè)分析可以被擴(kuò)展，從而使其包括模擬。圖1.25顯示的是伴隨有自定義二叉樹模型的模擬結(jié)果(Risk Simulator®軟件被用于模擬輸入變量)。
軟件會(huì)自動(dòng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)顯著性和精度控制的要求確定試驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)，而不是隨機(jī)地決定在模擬中試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)。本例中置信度為99.9%，精度控制為.01，一共進(jìn)行了145510次試驗(yàn)。這組非常嚴(yán)格的參數(shù)設(shè)置意味著需要進(jìn)行足夠多次的試驗(yàn)才能使結(jié)果滿足置信度為99.9%、精度控制為0.01。例如：模擬的平均結(jié)果是$31.32(圖1.25)。這意味著在1000次試驗(yàn)中，999次的結(jié)果離$31.32的誤差只有.01。這些措施是在統(tǒng)計(jì)上有效的也是公正的。
圖1.24 使用定制二叉樹模型的單點(diǎn)計(jì)算結(jié)果
圖1.25 99.9%置信區(qū)間和精度為0.01美元時(shí)期權(quán)的估值結(jié)果
步數(shù)
二(多)叉樹模型的步數(shù)越多，結(jié)果的精度越高。圖1.26顯示的是運(yùn)用BSM的閉合形式的模型對(duì)沒有紅利的歐式看漲期權(quán)計(jì)算出的收斂的結(jié)果(與基本的二叉樹模型的結(jié)果相比)。一般在1000步后可以得到收斂的結(jié)果。同樣地，如果有可能的話，就應(yīng)該使用1000步的計(jì)算結(jié)果。由于需要很多的步數(shù)才能得到理想的結(jié)果，所以我們要運(yùn)用基于軟件的數(shù)學(xué)算法。例如：1000步的非重組二叉樹模型需要計(jì)算2×10301個(gè)節(jié)點(diǎn)，如果沒有專門的算法，人工計(jì)算是不可能的。圖1.27顯示的是用漸近增加的步數(shù)得到的收斂結(jié)果(每120步為一組)。計(jì)算出的數(shù)據(jù)被制成表格，并且本例也給出了結(jié)果的中位數(shù)。在這個(gè)自定義二叉樹模型中，最好的估計(jì)是4200步，輸入的數(shù)值通用于整個(gè)分析。
圖1.26 二叉樹模型的計(jì)算結(jié)果趨同于閉式方程的計(jì)算結(jié)果
圖1.27 定制二叉樹模型得到的收斂結(jié)果
結(jié)論
自Fisher Black、Myron Scholes、Robert Merton給出了他們的期權(quán)定價(jià)模型以及為金融界帶來巨大的進(jìn)步已經(jīng)30多年了;因此，不應(yīng)該將股票期權(quán)定價(jià)局限于某個(gè)具體的模型，因?yàn)槲覀兛偰芴剿鞯狡渌玫哪Ｐ汀?duì)股票期權(quán)進(jìn)行估值的三種主要方法是：閉合形式的模型(如：BSM、GBM、美式期權(quán)近似模型)、蒙特卡羅模擬、二叉樹模型。當(dāng)存在次優(yōu)行為、等待期、失效率時(shí)，BSM與GBM常常會(huì)高估ESOs的公允價(jià)值。事實(shí)上，如果用BSM和GBM對(duì)ESOs進(jìn)行估值，那么這常常會(huì)高估真實(shí)成本。在運(yùn)用BSM之前，需要滿足許多潛在假設(shè)，同樣地，它也有許多明顯的限制(這包括，它只能被運(yùn)用于無紅利的歐式期權(quán))。此外，美式期權(quán)近似模型非常復(fù)雜、并且很難運(yùn)用于Excel的工作表。BSM不考慮美式期權(quán)、基于支付紅利的期權(quán)(然而GBM可以在歐式期權(quán)中考慮紅利)、失效率、不良業(yè)績、股票價(jià)格的限制、待權(quán)期、不斷變化的商業(yè)環(huán)境和波動(dòng)性、次優(yōu)行為以及一些其他情況。蒙特卡羅模擬可以單獨(dú)作為一種對(duì)股票期權(quán)價(jià)格進(jìn)行估值的方法，但這僅限于歐式期權(quán)。模擬有以下兩種方式：通過對(duì)股票價(jià)格路徑的模擬，從而計(jì)算出期權(quán)的公允價(jià)值;與其他方法(如：二叉樹模型和閉合形式的模型)協(xié)同使用，從而找出模型中不確定性的來源。
二叉樹模型具有穩(wěn)定性并且易于運(yùn)用。它可以被運(yùn)用于對(duì)帶有紅利的歐式期權(quán)進(jìn)行估值，但這需要計(jì)算能力。我們需要運(yùn)用軟件來執(zhí)行這種運(yùn)算。二叉樹模型可以被用于計(jì)算支付紅利的美式期權(quán)，可以很容易地被改造以解決帶有外來輸入值的ESOs問題，可以與蒙特卡羅模擬協(xié)同運(yùn)用以考慮不確定的輸入假設(shè)(失效的概率、次優(yōu)行為、轉(zhuǎn)手、不良業(yè)績)，可以用于計(jì)算高精度的置信區(qū)間?；诒景咐芯克龅姆治?，我們建議在使用模型時(shí)，請(qǐng)先確認(rèn)ESO是歐式的。事實(shí)上，帶有外來輸入變量的美式期權(quán)是不允許被使用的，因?yàn)檫@會(huì)大大地高估補(bǔ)償成本。影響ESOs的公允價(jià)值的因素有很多，我們應(yīng)該運(yùn)用考慮這些因素的二叉樹模型。只要經(jīng)過認(rèn)真的學(xué)習(xí)，就可以像在本案例研究中所演示的那樣運(yùn)用二叉樹模型對(duì)ESOs進(jìn)行估值，本例所使用的方法是注重實(shí)效的、精確的并且是在理論上合理的。
